注釈_2：結像の公式

ゾーンプレートの結像の公式

ゾーンプレートの場合も、レンズの結像の公式と全く同じ結像の公式が成り立ちます。ただし、この公式の成り立つ根拠は異なります。レンズの場合の根拠は、光軸上の一点A（レンズからaの点）から出た光線がレンズを通過後光軸上の点B（レンズからbの点）に達する時にレンズ上のどの点を通っても同じ関係式が成り立つということですが、ゾーンプレートの場合、その根拠は、点光源Ａからその像Ｂに至る経路がｎ番目のゾーンを通過するときにはその経路長はＡからＢに直接向かう経路に比べて光の波長の (n/2) 倍になっているという事です（図２）。この式は、次のようになります。

$$\sqrt{a^2+{r_n}^2} +\sqrt{b^2+{r_n}^2} – (a+b) = \frac{1}{2} n\lambda $$

ここで、\(r_n\) はa、bに比べて非常に小さいので、

$$\sqrt{a^2+{r_n}^2} = a\sqrt{1+\frac{{r_n}^2}{a^2}}\cong a(1 + \frac{{r_n}^2}{2a^2} )= a + \frac{{r_n}^2}{2a}$$

$$\sqrt{b^2+{r_n}^2} = b\sqrt{1+\frac{{r_n}^2}{b^2}}\cong b(1 + \frac{{r_n}^2}{2b^2}) = b + \frac{{r_n}^2}{2b}$$

ですから、

$$\frac{{r_n}^2}{2a} + \frac{{r_n}^2}{2b} =\frac{n\lambda}{2}$$

となります。この式に、\({r_n}^2 = n\lambda f\) を代入すれば、次式で表される結像の公式が得られます。

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$