注釈_4：焦点深度・被写界深度


ゾーンプレート写真を撮影する際の焦点深度（Depth of focus）と被写界深度（Depth of field）について記します。「ゾーンプレート写真の原理ーピント合わせと被写界深度」の項で記したように、ここでは、これらの量に対して通常レンズ付きカメラに関して使われるものとは異なった定義を使っています。これは、普通良く使われるようなゾーンプレートにおいてはゾーンプレートによるボケの大きさが、ピントが完全に合っていても、すでに許容錯乱円半径よりも大きくなっていることが多いことと、像の出来る原理がレンズの場合と異なるからです。

焦点深度

無限遠にある点光源からの光がゾーンプレートを通ってから光軸上に集まる位置が焦点で、ゾーンプレートから焦点までの距離 f を焦点距離といいます。この「点」は、実は、面積が０の点ではなく空間的に広がりを持っていますので、ゾーンプレートから測って、光軸上で、\(f-\Delta f\) から\(f+\Delta f\)までの範囲に光が集まると言えます。この範囲を無限遠の点光源に対する「焦点深度」と名付けます（図１の光軸上の赤い部分）。有限の位置にある被写体に関する焦点深度は図２（緑色）の通りです。
 

焦点深度を定義するためには、点光源の像がどの程度までぼける事が許されるかについての限界を与える事が必要です。レンズの焦点深度の場合はこの値を具体的に数値で与えますが、ゾーンプレートの場合は、焦点の位置を変えることによって、最外側のゾーンを通過してきた光線と光軸上を通ってきた光線の間の位相差が半波長相当になるところを限界とします。光線の位相が半波長相当だけずれてしまうと打ち消し合って光の波の振幅が０になるからです。

波長 \(\lambda\)、焦点距離\(f\)、ゾーン数\(N\)、最外側ゾーンの半径 \(r_N\) の間の関係は、\({r_N}^2 = N \lambda f\) と表せるので、許容される焦点深度の半幅は次式を解けば求められます。
$$(N\pm 1)\lambda(f\mp\Delta f) = {r_N}^2 = N\lambda f$$
これより、
$$f\mp \Delta f = \frac{Nf}{N \mp 1}  \Rightarrow  \mp \Delta f =\frac{N-(N \pm 1)}{N \pm 1} f = \mp \frac{f}{N \pm 1}$$
したがって、
$$\Delta f = \frac{f}{N} $$
となります。 
 
図１　無限遠の点光源の像についての焦点深度
 
図２　有限の距離にある点光源（Ａ）の像（Ｂ）に対する焦点深度
 

焦点深度シミュレーション結果との比較

ゾーンプレートの説明の際使ったコンピュータプログラムを使って光軸上の光の強度をシミュレーションした結果を示します。後に示す色収差のシミュレーションと同様、焦点距離90 mm、ゾーン数 15（図３） と焦点距離300 mm、ゾーン数 65 （図４）のゾーンプレートについて計算しました。図は、設計波長を550 nm としてゾーンプレートを作り、波長 が450 mm（青線）, 550 mm（緑線）, 650 mm（赤線）の光を入射した時の光軸上の光の強度を表しています。横軸は光軸上の位置を表しており、縦軸はその位置での光の強度です。「焦点深度」については上の評価値と矛盾のない値が得られています。

また、光軸上で焦点（主焦点）距離 \(f\)を奇数の数値で割った位置に光の集まる「副焦点」が出来ていることがわかります。このように、フレネル・ゾーンプレートは「焦点」が無数にある「多焦点光学系」です。なお、フレネル・ゾーンプレートは透明部分と不透明部分がはっきり別れており、Binary　(2値） Zone Plateとも呼ばれますが、透明なところと不透明なところが正弦関数に従って連続的に変化しているガボール・ゾーンプレートもあります。ガボール・ゾーンプレートでは、焦点は\(f\)と\(-f\)（凹レンズの焦点に相当）の位置にあるものだけです。

図３　焦点深度シミュレーション（１）
設計波長550 nm、焦点距離 f=90 mm、ゾーン数 15 のゾーンプレートの入射波長による、光軸上で、収束する領域の違い。赤、緑、青 は入射光の波長が、650、550、450 nm であることを表しています。左の方の細いピークは焦点距離が f/3、f/5の副焦点に集まる光です。さらに高次の副焦点については省略してあります。

図４　焦点深度シミュレーション（２）
設計波長550 nm、焦点距離 f=300 mm、ゾーン数 65 のゾーンプレートの入射波長による、光軸上で、収束する領域の違い。赤、緑、青 は入射光の波長が、650、550、450 nm であることを表しています。左の方の細いピークは焦点距離が f/3、f/5の副焦点に集まる光です。さらに高次の副焦点については省略してあります。

このように、設計波長 550 nm 、15ゾーン、焦点距離 90 mm のゾーンプレートでは、波長 650 nm の光も 450 nm の光もピントが合う距離が重なっていますが、65 ゾーン、焦点距離 300 mm のゾーンプレートでは、もはや、これらの波長の光については同時にピントを合わせることが出来ないことがわかります。しかし、条件を外れると写真が撮れないというわけではありません。カメラのセンサーの性質や被写体からの光の波長構成などによって意図しない効果を含む写真が撮影できる事もゾーンプレート写真の醍醐味であるといえましょう。

被写界深度

焦点深度が、被写体の位置を決めたときの、像の位置の許容誤差範囲を表すのに対して、被写界深度は被写体の位置の結像範囲を表します。被写界深度も焦点深度と同様に計算できます。この場合も、本来位相がそろっている光線の経路の長さが光の波長の半分だけずれる場合を限界として計算します。

まず、有限の距離にある点光源（Ａ）からの光がＮ番目のゾーンの位置（Ｕ）を通って像の位置（Ｂ）に達するとします。このとき、次式が成り立ちます。

$$\sqrt{a^2+{r_N}^2}+\sqrt{b^2+{r_N}^2}-(a+b)=N\frac{\lambda}{2}$$

ここで、

$$\sqrt{f^2+{r_N}^2}-f=N\frac{\lambda}{2}$$
が成り立っています。また、経路ＡＵＢの長さよりも半波長だけ短い（あるいは長い）経路Ａ’ＵＢについては次式が成り立ちます。
$$\sqrt{(a\pm \Delta a)^2+{r_N}^2} + \sqrt{b^2 + {r_N}^2}-((a\pm \Delta a) + b) = (N\pm 1)\frac{\lambda}{2}$$
\(r_N\)、\(\lambda\) が a、b、f に比べて十分小さいことを考慮すると、これら三つの式は次のように変形されます。
$$\frac{{r_N}^2}{2a}+\frac{{r_N}^2}{2b}=N\frac{\lambda}{2}$$
$$\frac{{r_N}^2}{2f}=N\frac{\lambda}{2}$$
$$\frac{{r_N}^2}{2(a \pm \Delta a)}+\frac{{r_N}^2}{2b}=(N \pm 1)\frac{\lambda}{2}$$
\(\Delta a\) が a に比べて十分に小さいとして、これらの式から次式が得られます。　
 $$\Delta a = \frac{a}{N} \frac{a}{f}$$
 
したがって、距離 a にピントが合うようにすれば、
$$a- \frac{a^2}{Nf}$$
から
$$a+ \frac{a^2}{Nf}$$
の範囲にピントが合っていると見なせます（図５）。ところで、無限遠にピントを合わせた時の被写界深度を求めるのに上の式は使えません。この場合は次の式によってピントの合う最短距離 a’ が求められます。
$${r_N}^2 = a’\lambda + \frac{\lambda ^2}{4} \cong a’ \lambda$$
したがって、\(a’\lambda = N \lambda f\)　ゆえに、
$$a’=Nf$$

となり、無限遠にピントを合わせたときにピントの合うのは、

$$Nf \sim \infty $$
の範囲となります（図６）。
 図５　有限の距離離れた所にある被写体にピントを合わせた時の被写界深度
 図６　無限遠にピントを合わせた時の被写界深度