注釈_5：背景光

ソフトなゾーンプレート写真

それでは、ゾーンプレート写真がソフトになる主要な理由は何でしょうか？これを調べるために、入射光が完全にコヒーレントな場合について、無限遠にある円盤状光源によってできる像のコントラストを計算してみます（図１）。コントラスト(C)の定義は色々ありますが、ここでは、被写体像照度(\(L_1\)）と背景光照度（\(L_2\)）を使って

$$C=\frac{L_1 + L_2}{L_2}$$

と定義します。これは、Weber Contrast と呼ばれるコントラストの定義をゾーンプレートの場合に当てはめたものです。そこで、入射光量、像面積、背景光面積を、それぞれ、I、\(S_o\)、\(S_b\)、とすれば、被写体像照度(\(L_1\)）と背景光照度（\(L_2\)）は次のように表せます。

　被写体像照度：\(L_1=c_1(I/S_o)\)

　背景光照度　：\(L_2=c_2(q I/S_b)\)

ここで、\(c_1\) および \(c_2\) は、無限遠の点光源からの光がゾーンプレートに入射した時、それぞれ、主焦点に向かう光と直進する光（零次の焦点に集まる光）の割合を表す係数で、既にしるしたように、\(c_1=1/\pi^2\) および \(c_2=1/4\) となります。また、円形の被写体像の半径は前述の無限遠の点光源の像の半径 b の p 倍（\(\sqrt{ q}\))とします。言い換えれば、この像は、q 個の点光源（それぞれがゾーンプレート面状に照度 eの明るさを与える）が円形領域に集まって出来た円盤状光源の像であるとしています。このため、像面積\(S_o\)は \(\pi b^2 q\)で表せます。また、背景光像面積\(S_b\)は \(\pi a^2 q\)です。入射光量は q 個の点光源からの光がゾーンプレートの円形部分に入射する時の光量ですから \(\pi a^2 e q\) となります。背景光照度の計算に点光源数がかかっているのは別の方向にある点光源による背景光も背景光像面積を計算する領域に入ってくるからです。したがって、\(L_1\) 、 \(L_2\) 及びCは次のようになります。

$$L_1=\frac{1}{\pi ^2} e\pi a^2 q \frac{1}{\pi [3.8\lambda f/(2\pi a)]^2q}
=\frac{1}{\pi ^2} e\pi a^2 \frac{1}{\pi [3.8\lambda f/(2\pi a)]^2}$$

$$L_2=\frac{1}{4}e \pi a^2q^2 \frac{1}{\pi a^2 q} = \frac{1}{4}eq$$

$$C=(\frac{4}{3.8})^2 \frac{a^4}{\lambda^2 f^2 q} +1$$

ここで、\(a \cong \sqrt{2M \lambda f}\) を使うと、次式が得られます。

$$C \cong 4.43 \frac{M^2}{q} + 1$$